Cuando me decidí a estudiar física hace unos meses no pensé demasiado en las matemáticas. Supongo que las matemáticas pasaron por mi cabeza sólo como un recurso a utilizar desde la física. No tenía entonces ningún interés en la matemática pura. Sin embargo, aunque sólo llevo unos meses estudiando ya estoy empezando a cogerle el gustillo.

No sé qué es lo que me ha empezado a llamar la atención de las matemáticas puras pero tienen un qué, un algo, una especie de perfume encantador que hace que las empiece a apreciar como si del arte y la filosofía más profundos se tratase.

Cada vez me resulta más fácil comprender la pasión que Da Vinci (y sus contemporáneos) sentían por los enigmas matemáticos y su manía por incorporar este tipo de cuestiones a sus obras. (Consúltese, por ejemplo, información relativa al número áureo.)

El enigma de Fermat se refiere a una cuestión matemática tremendamente fácil de enunciar y comprender pero extremadamente difícil de resolver. A cualquier escolar se le enseña el famoso teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Expresado en forma de ecuación:

a² + b² = c²

Pues bien, Fermat era un travieso aficionado a las matemáticas (aunque demasiado hábil como para seguir llamándolo aficionado) que se dedicaba a enviar teoremas a matemáticos profesionales sin sus correspondientes demostraciones y les retaba a encontrarlas.

En esta ocasión, a Fermat se le ocurrió modificar el teorema de Pitágoras para diferentes potencias, así que escribió: xⁿ + yⁿ = zⁿ, (donde n puede ser cualquier número entero mayor que 2) y propuso que esta nueva ecuación no tenía soluciones para valores enteros de x, y y z diferentes de 0. Por intentar aclarar esto un poco pondré un ejemplo:

x² + y² = z²
tiene soluciones enteras, como por ejemplo 3² + 4² = 5². Sin embargo, el último teorema de Fermat proponía que las ecuaciones:

x³ + y³ = z³
x⁴ + y⁴ = z⁴
x⁵ + y⁵ = z⁵
x⁶ + y⁶ = z⁶
…
xⁿ + yⁿ = zⁿ

carecen de soluciones enteras.

El teorema resulta tan fácil de comprender que creo que hasta yo lo entiendo. Sin embargo, los matemáticos se toman muy en serio eso de demostrar las cosas, así que no vale con decir que una determinada ecuación carece de soluciones enteras: ¡hay que demostrarlo!

Fermat escribió en una ocasión: “He descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla“. Sin embargo, la demostración nunca llegó a aparecer. Trescientos años más tarde, y después de que los mejores matemáticos se enfrentasen sin éxito al problema, llegó Andrew Wiles y ofreció una demostración (que, por cierto, dicen que ocupa unas 200 páginas).

Simon Singh ha recopilado en este libro un montón de historias interesantísmas sobre las matemáticas. La historia del último teorema de Fermat (y de cómo Andrew Wiles lo resolvió) guía el libro, pero no lo limita. Los conceptos están explicados de tal manera que creo que hasta yo he podido entender gran parte de ellos.

Pero no sólo eso, Simon Singh ha aprovechado para hablar de otras cuestiones muy interesantes como el papel de las mujeres en el mundo de las matemáticas, repasando las historias de mujeres como Hipatia o Germain; y para repasar algunos teoremas matemáticos tan sencillos de comprender como el que da título al libro y que siguen sin resolver.

Si te gustan las matemáticas (o quieres que te empiecen a gustar), no dudes leerlo.

”La expresión «amor a la verdad» no es una mera metáfora” – Karl Popper (pág. 103).

Siempre que leo a Popper siento un subidón que me dura varias semanas. Últimamente me he empezado a interesar por algunos movimientos intelectuales del siglo pasado que fueron realmente apasionantes y fructíferos. No me siento capaz de resumirlos porque no estoy para nada versado en la materia pero lo intentaré y así, de paso, tendré la oportunidad de ser corregido. Hago aquí mías las palabras con que Newton inició sus Principios matemáticos:

”De corazón suplico que lo aquí expuesto pueda ser leído con indulgencia; y que [mis palabras] puedan examinarse no tanto desde la perspectiva de la censura como para remediar sus defectos” – Isaac Newton.

Me refiero en concreto a las teorías del conocimiento; o dicho de otra manera, a las teorías sobre qué podemos llegar a saber. Malresumiendo la historia, surgió el siglo pasado un movimiento llamado el Círculo de Viena que buscaba alguna forma de conocimiento cierto e indudable (por básico que fuese). El Círculo reunió nada menos que a personajes como Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein y Gottlob Frege, y fue, me atrevo a decir, uno de los movimientos filosóficos más productivos de los que tengamos constancia.

Los expertos del Círculo de Viena revisaron las bases de las matemáticas, la filosofía de la ciencia, elaboraron una nueva y sofisticada teoría del conocimiento y lograron muchísimos y muy significativos avances. No obstante, Popper, a pesar de que tuvo una estrecha relación con el Círculo, nunca se consideró miembro del mismo. El positivismo (la idea de que podemos llegar a algún tipo de conocimiento cierto, verdadero e indudable) fue uno de los principales objetivos de crítica de Popper. En su “lógica de la investigación científica” (una de las obras que más influyó sobre el Círculo) así como en el resto de su obra, Popper propuso que la ciencia avanza mediante hipótesis (conjeturas, teorías).

Según Popper, nunca llegamos a saber que una determinada teoría es verdadera. Más bien, la tenemos como la mejor de las teorías elaboradas hasta que logramos una aún mejor. Así, el avance científico más que positivista (del tipo “ahora sabemos que esto es exactamente así”) es falsacionista (del tipo “ahora sabemos que esto no es exactamente así”). Hoy, las críticas de Popper al positivismo tienen una gran aceptación. Según John Passmore (historiador de la filosofía): “el positivismo está tan muerto como pueda estarlo un movimiento filosófico”.

Una de las ideas que más me motivan de Popper es su defensa de las formas de pensamiento creativo (especulativo) y crítico. Es uno de los primeros filósofos de los que tengo constancia que no encontraron incompatibilidad entre el pensamiento especulativo y el crítico. De hecho, defendió con valentía ambas formas de pensamiento. Para Popper -y lo comparto- el pensamiento creativo y el pensamiento crítico no sólo no son incompatibles, son inseparables. Si en otra ocasión nos recordó que la crítica es la única alternativa que tenemos a la violencia, ahora nos advierte contra determinadas formas inaceptables de crítica:

”Ahora podemos eliminar las teorías falsas utilizando la crítica no violenta. Sin duda la crítica no violenta aún se utiliza raramente: la crítica suele ser aún una actividad semiviolenta, aun cuando se lleva a cabo sobre el papel.” – Karl Popper (pág. 49).